“พี่จะรู้ไปทำแมวอะไรครับ ?”
คือคำตอบกึ่งคำถามของรุ่นน้องคนหนึ่ง หลังจากที่ผมขอให้เขาช่วยอธิบายสูตร a = 2 arctan ( h / 2d ) ที่แอปเปิลโชว์บนสไลด์ในงานเปิดตัว “The new iPad” รุ่นใหม่ ซึ่งจะว่าไปแล้วผมก็ไม่รู้เหมือนกันว่าจะรู้ไปทำแมวอะไร แต่ก็คนมันอยากรู้อ๊าาาาาาา
เมื่อ 7 มีนาคมที่ผ่านมา ระหว่างที่ Phil Schiller กำลังพูดถึงความละเอียดของหน้าจอ ที่แอปเปิลเรียกมันว่า Retina Display บนไอโฟนและไอแพดตัวใหม่ อยู่ดีๆ พี่แกก็เอา สูตรคณิตศาสตร์ ขึ้นมาโชว์ ซึ่งจะว่าไปผมก็ไม่เคยเห็นแอปเปิลเอาเรื่องซับซ้อนอะไรขนาดนั้นมาขึ้นจอเลย
มันก็เลยน่าสนใจ (เป็นการส่วนตัว) ว่าไอ้สูตรเนี่ย มันหมายความว่ายังไงกันแน่ จากปากคำของน้องคนนี้ ซึ่งเป็นถึงอาจารย์สอนคณิตศาสตร์ที่มหาลัยชื่อดัง และการนั่งหาข้อมูลจากหลายเว็บ ก็ได้ความดังนี้
คำเตือน: Geek + Math มาก
พิสูจน์สูตร
แอปเปิลต้องการคำนวณว่าต้องทำจอไอโฟนให้จุดหนึ่งจุด (Pixel) มีความสูงซักเท่าไหร่ มันถึงจะเล็กพอที่คนเราจะแยกไม่ออกว่ามันคือ “จุด” ตามชื่อ Retina Display
จากรูปนี้ถ้าทางซ้ายคือตาของคนเรา ทางขวาคือ 1 pixel เราให้ตัวแปลต่างๆ คือ
- h = ความสูงของหนึ่ง pixel
- d = ระยะห่างระหว่างตากับอุปกรณ์
- a = มุมในการมองเห็น
ถ้าตาคนเรามองไปที่กลางจอพอดี และแสงที่ตกกระทบกลับมาที่ตาตรงกลางพอดีเช่นกัน เราก็ควรจะตัดรูปข้างบนออกครึ่งหนึ่ง แล้วสร้างเป็นรูปเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากดังภาพ
มุม a เมื่อถูกหักออกครึ่งหนึ่งจึงเหลือ a / 2
ความสูงของ pixel ถูกหักออกครึ่งหนึ่งเหลือ h / 2
ระยะทางระหว่างตากับอุปกรณ์เท่าเดิมคือ d
จากนั้นใช้สูตร sin, cos, tan สามเหลี่ยมอย่างที่เราเคยเรียนกันมาตั้งแต่มัธยม กรณีนี้ต้องใช้ tan
tan ( a / 2 ) = ( h / 2 ) / d
tan ( a / 2 ) = ( h / 2d )
a / 2 = arctan ( h / 2d )
a = 2 * arctan ( h / 2d )
ซึ่งก็ได้ตามสูตรที่แอปเปิลโชว์ในสไลด์พอดีเลย เย๊ๆ
 |
| รูปจาก Wikipedia |
มุมที่ตาคนเรามองเห็น
มุมเล็กที่สุดที่ตาคนเราจะสามารถแยกออกว่าสีสองสีนี้ เป็นสีที่ต่างกันคือมุม 0.000291 Radians (อ้างอิง: Jones Blog) หรือที่บางคนเรียกว่า 1′ arc
ที่เราเคยเรียนมาเราจะเรียกมุมในหน่วยองศา (Angle) แต่พอดีว่าตาคนเราเป็นทรงกลม เค้าเลยใช้มุมเป็นหน่วยเรเดียน (Radians)
เพราะงั้นค่า a ตอนนี้เราก็ได้แล้ว ว่ามันคือ a = 0.000291 นะจ๊ะ
ระยะห่างระหว่างอุปกรณ์กับตาคนเรา
แอปเปิลบอกว่า ระยะห่างโดยเฉลี่ยระหว่างโทรศัพท์กับตาของคนเราคือ 10 นิ้ว (25.4 เซ็นติเมตร) ซึ่งไม่แน่ใจว่าอ้างอิงจากที่ไหน แต่คงเป็นค่าที่หามาแน่ชัดแล้วล่ะ
ส่วนระยะห่างระหว่างแท็บเล็ตกับตาคนเราโดยเฉลี่ยคือ 15 นิ้ว (38.1 เซ็นติเมตร) ก็น่าจะโอเค เพราะเราก็วางแท็บเล็ตไว้ไกลตากว่าการดูโทรศัพท์มือถืออยู่แล้ว
เพราะงั้นตอนนี้เราได้ค่า d สำหรับโทรศัพท์มือถือ คือ d1 = 10, สำหรับแท็บเล็ตคือ d2 = 15 (ใช้หน่วยเป็นนิ้ว)
แล้วหนึ่งพิกเซลควรใหญ่แค่ไหน ?
ถ้าเราเอาค่าคงที่ทั้งหมดมาลองคำนวณดู ทั้งค่า a และค่า d1 เพื่อหาค่า h เราจะได้ว่า
tan ( a / 2 ) = ( h / 2d )
h / 2d = tan ( a / 2 ) [กลับทาง]
h = 2d * tan ( a / 2 ) [ได้สูตรใหม่]
h = 2 (10) * tan ( 0.000291 / 2 )
h = 0.00291
เราจะได้ว่าความสูงของ 1 พิกเซลควรจะเท่ากับ 0.00291 นิ้ว แต่โดยทั่วไปเราใช้หน่วย Pixel Per Inch (ppi) ในการอธิบายความละเอียดของหน้าจอ เพราะงั้น ..
จำนวนพิกเซลต่อขนาด 1 นิ้วเท่ากับ = 1 / 0.00291 =~ 343 ppi
จอไอโฟน 4 ทำความละเอียดได้ 326 ppi ซึ่งก็ใกล้เคียงกับค่าที่คำนวณได้ (343 ppi) จึงสามารถเรียกได้ว่าจอโทรศัพท์มือถือที่ความละเอียด 326 ppi เป็น Retina Display ได้เช่นเดียวกัน
ทีนี้ถ้าทำแบบเดียวกันกับแท็บเล็ต ก็แค่เปลี่ยนค่า d ให้ไกลขึ้นเป็น 15 นิ้ว เราก็สามารถคำนวณหาค่า h สำหรับแท็บเล็ตได้ดังนี้
h = 2d * tan ( a / 2 ) [สูตรใหม่]
h = 2 (15) * tan ( 0.000291 / 2 )
h =~ 0.004365
1 นิ้วก็จะได้ = 1 / 0.004365 =~ 229 ppi
จอไอแพดใหม่ (The new iPad) มีความละเอียดที่ 264 ppi ซึ่งละเอียดกว่าค่าที่คำนวณได้ซะอีก (229 ppi) เพราะงั้นก็เรียกได้ว่าจอไอแพดรุ่นใหม่นี้ มีความละเอียดพอที่จะเรียกว่า Retina Display ได้เช่นกัน
รู้แล้วได้อะไร ?
ได้สนองความอยากรู้ครับ (ฮะๆ) .. นั่นสิ รู้แล้วได้อะไรนะ แต่ก็เอาเหอะ ถือซะว่าสนองนี๊ดส์คนเขียนบล็อกละกัน
เอาเป็นว่าอย่างน้อยเราก็ได้เข้าใจหลักการคำนวณค่าที่แอปเปิลใช้คำนวณความกว้างยาวของหน้าจอไปแล้ว ซึ่งเราก็อาจจะได้เห็นในสินค้าตัวอื่นของแอปเปิลก็เป็นได้ .. Macbook Pro จอ Retina Display ? หรือแม้แต่ทีวีตัวใหม่ ?
อะไรก็เป็นไปได้ ใครจะรู้ แต่ตอนนี้ประโยคที่น้องคนนั้นบอกเริ่มกลับมาดังอีกครั้งนึง ..
“พี่จะรู้ไปทำแมวอะไรครับ ?”
 |
| ภาพแบบซุมเข้าไปที่จอของ iPad 1, iPhone 1, iPhone 3G, iPhone 4 ที่มาภาพ Jones Blog |
